Phys. N° 09 :
Mouvement d'une particule
dans un champ magnétique.
Exercice

 

   

 

 

Application :

Étude de la trajectoire d'une particule chargée dans un champ

magnétique uniforme.

Dans une ampoule sphérique en verre contenant un gaz sous faible pression,

on étudie la trajectoire suivie par un pinceau d'électrons homocinétique soumis

à l'action d'un champ magnétique uniforme, de vecteur champ B.
L'ampoule est placée entre deux bobines d'Helmholtz (bobines coaxiales)

où règne le champ magnétique B, dirigé selon l'axe des bobines

(c'est-à-dire perpendiculairement au plan de la figure 1).
Le pinceau d'électrons est crée par un canon C dans lequel les électrons,

émis à une vitesse négligeable sont accélérés par une tension U.

Les électrons sortent du canon avec une vitesse représentée par le vecteur

 v0 vertical orienté vers le haut.
On observe une trajectoire circulaire de rayon
R.

On néglige le poids des électrons devant la valeur de la force de Lorentz.

Dans le cas présent, v0 et B sont orthogonaux.

Étude dynamique :

Donner l'expression de la force électromagnétique F qui s'exerce sur un

électron à l'instant t.

En déduire les caractéristiques du vecteur force. Faire un schéma.

Force de Lorentz :

en considérant un électron :

 

 

Caractéristiques de  :

 

 

 

 

- Direction à  et  

- Sens,  et  forment un trièdre direct

- Valeur : F = e . v . B 

(Au niveau de la terminale, )

 

Après avoir préciser le référentiel d'étude et choisi le repère d'Espace,

appliquer le théorème du centre d'inertie.

Dans l'exercice, on néglige l'effet du poids devant la force magnétique.

Le théorème du centre d'inertie dans le référentiel galiléen permet

d'écrire que : (1) avec  (2)

Donner l'expression du vecteur accélération d'un électron.

De (1) et (2), on tire que : (3)

On peut remarquer que B est un vecteur constant mais que le vecteur

vitesse change de direction à chaque instant puisque le mouvement est

circulaire.

Étude cinématique :

Montrer alors que le mouvement des électrons se fait dans un plan.

Conditions initiales :

            

et

De l'expression (3), on déduit qu'à chaque instant, le vecteur

accélération est perpendiculaire au vecteur champ magnétique (propriété

du produit vectoriel. En conséquence, le vecteur accélération est

contenu dans le plan xOy. On en déduit les coordonnées du vecteur

accélération dans le repère choisi.

Du fait des conditions initiales, le mouvement s'effectue dans le plan

xOy. Il n'y a pas de composante suivant l'axe z'z.

Monter que le mouvement des électrons est circulaire uniforme.

Conseil : il faut utiliser le repère de Frenet et donner l'expression du

vecteur F dans ce repère.

Comme il faut montrer que le mouvement est circulaire, on utilise le

repère de Frenet. On donne l'expression de F dans ce repère :

en conséquence : .

On peut en déduire l'expression du vecteur accélération dans le repère

de Frenet : .

On en déduit les coordonnées du vecteur accélération dans

le repère de Frenet :


 

La composante tangentielle de l'accélération est nulle

a

 

En conséquence : cte v0  le mouvement de la particule est uniforme

az = 0

D'autre part :

Le mouvement est circulaire.

Établir l'expression de R (rayon du cercle) en fonction de m, v0, B et e

(e représente la charge élémentaire et m la masse de l'électron).

 

Indiquer sur la figure 1, la direction et le sens de la force F à

la sortie du canon à électron, ainsi que le sens de B.

Indiquer le sens du courant dans les bobines.

Voir figure 1

On utilise ce dispositif pour déterminer expérimentalement le rapport appelé

charge massique de l'électron.

Comment peut-on mesurer pratiquement la valeur de B ? On trouve B = 1,25 x 10 –3 T.

Mesure à l'aide d'un Teslamètre.

Comment peut-on mesurer pratiquement le diamètre D de la trajectoire circulaire

suivie par les électrons ? On trouve D = 6 cm.

Mesure à l'aide d'une règle graduée.

Montrer que v0, vitesse initiale des électrons à la sortie du canon, s'exprime en

fonction de la charge massique de l'électron et de la tension accélératrice U.

En déduire que la charge massique peut s'exprimer en fonction de U, B et R.

Calculer numériquement sachant que U = 124 V.

Données :

m = 9,10 x 10 –31 kg ; B = 1,25 x 10 –3 T ;

e = 1,60 x 10 –19 C ; v0 = 6,59 x 10 6 m / s

En utilisant le théorème de l'énergie cinétique :

Attention : électron : charge négative

  (4)

(5)

En utilisant (4) et (5), on trouve :

  A.N :

 Vérification :