Phys. N° 01 :
Le Champ de Gravitation.
Exercices
Énoncé

   

 

1)- Champ de gravitation de la Lune. Exercice 15 page 23.

2)- Champ de gravitation terrestre. Exercice 14 page 23.

3)- De la Terre à la Lune. Exercice 20 page 24.

4)- Variation de g avec l’altitude. Exercice 23 page 25.

5)- Mesure de G par Cavendish. Exercice 24 page 25.

 

I- Exercice 14 page 23.

Champ de gravitation terrestre :

La valeur du champ de gravitation de la Terre à l’altitude

h est donnée par la relation :

 

1)- Avec quelle hypothèse cette formule est-elle été établie ?

2)- Pour h << RT, donner une relation approchée de g (h)

En déduire la variation relative :  

3)- Calculer cette variation relative pour h = 4808 m, altitude du Mont-Blanc.

Donnée : RT = 6380 km.

4)- Calculer la variation relative du poids d’un objet de masse m = 1 kg

Lorsqu’il passe du niveau de la mer au sommet du Mont-Blanc.

Correction :

Champ de gravitation terrestre :

1)- Hypothèse :

On considère que la terre est un corps à répartition sphérique de masse.

2)- Hypothèse : h << RT :

-     

-    Si h<<RT,

3)- Variation relative h = 4808 m :

-     

4)- variation relative de poids :

-    

 

 

II- Exercice 15 page 23.

Champ de gravitation de la Lune

La Lune est considérée comme un corps à répartition

sphérique de masse , de rayon RL = 1740 km et de masse

ML = 7,34 x 1022 kg.

1)- Donner l’expression du vecteur champ de gravitation

de la Lune à une distance r ≥ RL de son centre.

2)- a)- Calculer la valeur du champ de gravitation lunaire à

la surface de la Lune.

b)- La comparer à la valeur du champ de gravitation

terrestre g0T à la surface de la Terre.

3)- Lors de la dernière mission lunaire (APOLLO XVII),

les astronautes ont ramené 117 kg de roches.

Quel était le poids de ces roches :

a)- à la surface de la Lune ?

b)- à la surface de la Terre ?

Correction :

Champ de gravitation de la Lune

La Lune est considérée comme un corps à répartition

sphérique de masse , de rayon RL = 1740 km et de masse

ML = 7,34 x 1022 kg.

1)- Expression du vecteur champ de gravitation de la Lune

(corps à répartition sphérique de masse et r > RL).

2)- Champ de gravitation de la lune

a)- Valeur à la surface de la lune :

-   

b)-  comparaison avec celui de la terre :

-  

3)- Poids des roches.

a)-  À la surface de la lune.

PL = m . g0L ≈ 190 N

b)-  À la surface de la terre.

-  PT = m . g0T ≈ 1150 N  

 

III-  Exercice 20 page 24.

 

La Terre, la Lune et le Soleil :

La distance entre la Terre et la Lune est de 384 000 km

en moyenne. Le rapport des masses des deux planètes est :

1)- Entre la Terre et la Lune, il existe un point où le

champ de gravitation de la Lune compense celui de la

Terre. Déterminer la position de ce point.

2)- Un satellite géostationnaire de 360 kg, à 42000 km

du centre de la Terre, se trouve entre la Terre et la Lune.

Calculer le rapport des valeurs des forces de gravitations

exercées par la Terre et la Lune  sur ce satellite.

3)- Le Soleil est à une distance moyenne :

D = 1,5 x 1011 m de la Terre.

Calculer le rapport des valeurs des forces d’interaction

Gravitationnelle exercées par la Terre et le Soleil sur la

Lune lorsque les trois astres sont alignés.

Donnée :

La Terre, la Lune et le Soleil :

La distance entre la Terre et la Lune est de 384 000 km

en moyenne. Le rapport des masses des deux planètes est :

1)- Point ou le champ de gravitation de la terre compense

celui de la lune.

 

 

 

2)- Rapport des forces de gravitation.

-  d = 384000 km ; ra = 42000 km et rb = 342000 km

 

3)- Soleil, Terre et Lune alignés.

-  d = 1,5 x 1011 m ; r1 = 3,84 x 108 m ; r2 = 1,496 x 1011 m.

 

 

 

IV- exercice 23 page 25. Variation de g avec l'altitude.

Variation de g avec l’altitude :

La variation de g avec l’altitude a pu être mise en évidence

par Von Jolly au XIXe siècle.  Quatre ballons en verre

identiques sont suspendus sous les plateaux d’une balance,

comme l’indique le document ci-dessous. Ces ballons sont

fermés et deux entres eux sont pleins de mercure, les deux

autres sont vides. On établit l’équilibre lorsque les ballons

pleins occupent les positions 1 et 4. Puis ont permute les

ballons 1 et 2, d’une part et 3 et 4 d’autre part. On place

alors la surcharge m dans le plateau B.

La distance entre les deux boules 1 et 2, 3 et 4 est d.


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1)- Lorsque l’on passe de la position 1 à la position 2,

g varie de Δg. En déduire la variation de poids du mercure

entre ces deux positions.

2)- Montrer que :

m . g = 2 M . Δg,

M est la masse de mercure dans un ballon.

3)- Au cours d’une mesure, Von Jolly a trouvé :

M = 5 kg, d = 21 m et m = 63,4 mg.

Calculer .

4)- Comparer cette valeur à la valeur théorique

Donnée : RT = 6380 km.

5)- Au cours de cette expérience, doit-on prendre

en compte la poussée d’Archimède due à l’air ?

Correction :

Variation de g avec l’altitude :

La variation de g avec l’altitude a pu être mise en évidence

par Von Jolly au XIXe siècle.  Quatre ballons en verre

identiques sont suspendus sous les plateaux d’une balance,

comme l’indique le document ci-dessous. Ces ballons sont

fermés et deux entres eux sont pleins de mercure, les deux

autres sont vides. On établit l’équilibre lorsque les ballons

pleins occupent les positions 1 et 4. Puis ont permute les

ballons 1 et 2, d’une part et 3 et 4 d’autre part. On place

alors la surcharge m dans le plateau B.

La distance entre les deux boules 1 et 2, 3 et 4 est d.

1)- Variation du poids du mercure entre les

deux positions (1) et (2).

-  Du côté de A, l'altitude diminue de d en conséquence

PA = PA + M . Δg, le poids augmente.

-    Du côté de B, l'altitude augmente de d en conséquence

PB = PBM . Δg, le poids diminue.

2)- L'équilibre est déplacé du côté de A et

il faut rajouter la surcharge de masse m du côté de B.

-  En considérant que les bras des fléaux ont la

même longueur ,

à l'équilibre : 

-  PA . ℓ - PA . ℓ - P . ℓ = 0

-  PA + M . Δg PB + M . Δg m . g = 0

-  Or PA = PB car il y a équilibre dans le cas (1).

-   or PA = PB car il y a équilibre dans le cas (1).

On peut déduire la relation :

3)- application numérique :

.

4)- Comparaison :

-  Valeur théorique

.

Précision :  4 %

5)- La poussée d'ARCHIMède ne change pas car

les boules sont identiques.

 

V- Exercice 24 page 25. Mesure de la constante de gravitation par CAVENDISH (1798).

 

Mesure de la constante de gravitation par

Cavendish (1798).

Pour mesurer la constante G, Cavendish utilise, en 1798,

une balance de torsion, (cf. schéma suivant).

Un fil de torsion (constante C) vertical supporte par son

centre un fléau horizontal de longueur , aux extrémités

B et B’ duquel sont fixées deux petites sphères de même

masse m.

Celles-ci peuvent être soumises à l’attraction de deux

grosses boules de même masse M dont mes centres E et

E’ sont situés dans le plan horizontal du fléau BB’.

 

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En l’absence des boules, le fléau occupe la position

d’équilibre telle que la torsion du fil soit nulle.

Les boules sont amenées dans deux positions

symétriques par rapport au milieu O du fléau telles

que les directions (EB) et E’B’) soient perpendiculaires

à la direction du fléau au repos et que EB = E’B’ = d.

En raison des interactions gravitationnelles entre boules

et petites sphères, l’équilibre initial est rompu : le fléau

tourne d’un angle α, tordant l’extrémité O du fil du

même angle.

1)- Exprimer littéralement la valeur de chaque force

d’interaction gravitationnelle entre une petite sphère

et une boule en fonction de m, M, d et G.

Indication : Négliger l’interaction entre les sphères

et les boules les plus éloignées.

2)- Écrire le moment du couple dû aux forces

gravitationnelles agissant sur le fléau en fonction

de m, M, d et .

3)- Exprimer la condition d’équilibre du fléau et en

déduire une relation entre m, M, d, , C, α et G.

4)- Une expérience ayant été réalisée avec m = 50 g,

M = 30 kg, C = 5,0 x 10 – 7 N.m.rad – 1, = 10 cm et

d = 15 cm

On demande de déterminer la valeur de l’angle α en radian.

5)- Pour mesurer la valeur de l’angle α, il est judicieux de

mettre en œuvre une technique due au physicien

Poggendorf (1796 – 1877) ;

un petit miroir est collé en O sur le fil.

Éclairé par le faisceau d’une lanterne, il donne un spot

lumineux sur une règle graduée. En l’absence de torsion

du fil, le spot coïncide avec le zéro de la règle.

Lorsque le fil est tordu d’un angle α, le faisceau ayant

tourné d’un angle 2 α, le spot s’est déplacé d’une

longueur δ sur la règle.

La règle est située à la distance D = 5,0 m du fil.

a)- Déterminer la longueur δ du déplacement.

b)- Conclure quant à la faisabilité de l’expérience.

   Correction :

1)- Expression littérale de chaque force :

-  Schéma :

 

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2)- Moment du couple :

 

3)- Condition d'équilibre :

-   : Représente le couple de torsion du fil,

il est proportionnel à la constante de torsion C et

à l’angle de torsion α en radian :

-  

-  Le signe (–) provient de l’orientation choisie et

du fait que le fil s’oppose à la déformation.

 

4)- Valeur de l'angle en radian.

 

5)- Technique de POGGENDORF (1796-1877).

a)-  Longueur du déplacement :

 

b)-  L'expérience est possible avec un fil de torsion en quartz.