Énoncé

 Mise en orbite d'un satellite

artificiel par la fusée Ariane (6 points)

 

   

Correction

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D’après Encyclopædia Universalis (1998).

(Certains renseignements et données sont nécessaires à la résolution du sujet).

Le premier lanceur Ariane est une fusée à trois étages dont la hauteur totale est de 47,4 m et qui pèse, avec sa charge utile (satellite), 208 tonnes au décollage.

 Le premier étage, qui fonctionne pendant 145 s est équipé de 4 moteurs Viking V alimentés par du peroxyde d'azote N2O4 ( masse de peroxyde emportée :  147 tonnes).

L'intensité de la force de poussée totale  de ces 4 moteurs est constante pendant leur fonctionnement : elle vaut F = 2445 kN.

Le lanceur peut mettre en orbite circulaire basse de 200 km d'altitude un satellite de 4850 kg ;  Il peut également placer en orbite géostationnaire un satellite de 965 kg ;  Il peut être aussi utilisé pour placer en orbite héliosynchrone des satellites très utiles pour les applications météorologiques.

1)- L'ascension de la fusée Ariane :

Le champ de pesanteur est supposé uniforme : g 0 = 9,8 m/s².

On choisit un axe Oz vertical vers le haut.

On étudie le mouvement de la fusée dans le référentiel terrestre supposé galiléen.

a)-     Représenter sur un schéma en les nommant les deux forces qui agissent sur la fusée Ariane lorsqu'elle s'élève verticalement. On néglige les frottements et la poussée d'Archimède.

b)-     A un instant quelconque, la masse de la fusée est m. Déterminer en fonction de m et des intensités des deux forces précédentes la valeur de l'accélération a.

c)-     On considère d'abord la situation au décollage. La masse de la fusée vaut alors m 1. Calculer la valeur numérique de l'accélération a à cet instant. On envisage la situation qui est celle immédiatement avant que tout le peroxyde d'azote ne soit consommé. La masse de la fusée vaut alors m 2. Calculer la valeur numérique de m 2  puis celle de l'accélération a 2  à cet instant. Le mouvement de la fusée est-il uniformément accéléré ?

d)-     La vitesse d'éjection des gaz issus de la combustion du peroxyde d'azote est donnée par la relation :

est la variation de la masse de la fusée par unité de temps et caractérise la consommation des moteurs.

Vérifier l'unité de V e par analyse dimensionnelle. Calculer la valeur numérique de V e.

Quel est le signe de ? En déduire le sens de . Qu'en pensez vous ?

A l'aide d'une loi connue que l'on énoncera, expliquer pourquoi l'éjection des gaz propulse la fusée vers le haut.

2)- Étude du satellite situé à basse altitude (h = 200 km)

on s'intéresse au mouvement d'un satellite S, de masse m 1, en orbite circulaire ( rayon r) autour de la terre de masse M T, de rayon R T et de centre O.

On suppose que la terre est une sphère et qu'elle présente une répartition de masse à symétrie sphérique et que le satellite est assimilé à un point.

a)-     Préciser les caractéristiques du vecteur accélération  d'un point animé d'un mouvement circulaire uniforme de rayon r et de vitesse v.

b)-     Énoncer la loi de gravitation universelle. On appelle G la constante de gravitation universelle. Faire un schéma sur lequel les vecteurs forces sont représentés.

c)-     Le satellite est à l'altitude h tel que r = R T + h.

On appelle  la force qu'exerce la terre sur le satellite. Cette force dépend de la position du satellite et on pose .

On note g(h) l'intensité de la pesanteur à l'endroit où se trouve le satellite : 

Exprimer g(h) en fonction de M T, R T, G et h puis en fonction de R T, h et g 0.

d)-     Appliquer la deuxième loi de Newton au satellite en orbite circulaire. En déduire l'expression de la vitesse v S du satellite en fonction de g 0, R T et h puis celle de sa période T S.

e)-     Application numérique : g 0 = 9,8 m / s² ; h = 200 km et R T = 6400 km. Calculer v S et TS.