Phys. N° 06 :
Rotation d'un solide
autour d'un axe fixe.
Couple

 

   

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I- Couple de forces.
1)- Définition.
2)- Moment d'un couple.
3)- Couple et sens de rotation.
4)- Couple et réaction de l'axe.
II- Couple associé à l'action d'une force extérieure donnée.
1)- Modification de la réaction de l'axe de rotation.
2)- Couple associé.
3)- Moment d'une force orthogonale à l'axe de rotation Δ
III- Conditions d'équilibre d'un solide autour d'un axe fixe.

IV- Couples de forces répartis.

( TP physique N° 8 : couple de torsion d'un fil).
V- Solide en mouvement de rotation uniforme autour d'un axe.
VI- Applications.

Étude de l'équilibre d'un solide mobile autour d'un axe fixe.

I- Couple de forces.

1)- Définition.

Un ensemble de deux forces égales et opposées, de droites d'action différentes constitue un couple capable de faire tourner l'objet sur lequel il agit.

 

2)- Moment d'un couple.

Le moment  d'un couple de forces orthogonales à l'axe Δ est égal

au produit de l'intensité commune F des deux forces

par la distance d séparant les deux droites d'action.

 ℳ = F . d

Unités :

F en Newton (N),

d en mètre (m) et

 en Newton-mètre (N.m)

Remarque : La position de D n'intervient pas dans l'expression du couple.

- Remarque : la valeur du couple dépend uniquement de la valeur commune F des deux forces et de la distance d entre les deux droites d'action.

Elle ne dépend pas de la distance entre les points d'application des forces.

3)- Couple et sens de rotation.

Le couple (F, F') tend à faire tourner le disque dans le sens trigonométrique et le couple (T, T') tend à faire tourner le disque dans le sens inverse.

Pour pouvoir rendre compte de ce fait, il faut orienter le plan, en choisissant un sens positif arbitraire.

On peut attribuer au moment de chaque couple une valeur positive ou une valeur négative.

Le moment d'un couple est une grandeur algébrique.

Comme sens positif, on peut choisir le sens trigonométrique. Après orientation :

Cliquer sur l'image pour démarrer l'animation.

 

 

4)- Couple et réaction de l'axe.

- On considère un système de masse m mobile autour d'un axe fixe Δ dont le centre d'inertie G est situé sur l'axe de rotation Δ.

a)- Étude du système à l'équilibre :

- Le système est soumis à la réaction du support R et à son poids P. À l'équilibre, son centre d'inertie est immobile

D'après la réciproque du principe de l'inertie, le système est soumis à des forces dont les effets se compensent :

 

et les deux forces ont même droite d'action

On en déduit que R = P.

b)- On exerce sur le système un couple :

en déduire les caractéristique de la réaction R' exercée par l'axe Δ sur le système ?

- Le système est soumis à la réaction du support R' , à son poids P (inchangé), et au couple

.

Le système tourne autour de son centre d'inertie G .

Le centre d'inertie du système étudié est immobile.

D'après la réciproque du principe de l'inertie, le système est soumis à des forces dont les effets se compensent :

 

- or  ,

- En conséquence  

On en déduit que R' = P = R .

Cliquer sur l'image pour démarrer l'animation.

Conclusion :

Un couple de forces appliqué à un solide dont le centre d'inertie est situé

sur l'axe de rotation :

- Permet de faire tourner le solide

- Sans modifier la réaction exercée par l'axe sur le mobile.

 

II- Couple associé à l'action d'une force extérieure donnée.

Considérons un solide S de masse m mobile autour d'une axe Δ fixe passant par son centre d'inertie G.
On fait agir sur ce solide une force F dont la ligne d'action ne passe pas par l'axe de rotation.

1)- Modification de la réaction de l'axe de rotation.

a)- Premier cas : Étude à l'équilibre.

Étude du système à l'équilibre :

- Le système est soumis à la réaction du support R et à son poids R.

- À l'équilibre, son centre d'inertie est immobile.

D'après la réciproque du principe de l'inertie, le système est soumis à des forces dont les effets se compensent :

et les deux forces ont même droite d'action.

On en déduit que R = P.

b)- Deuxième cas : On applique la force F, le solide tourne autour de l'axe de rotation D.

- Faire le bilan des forces et en déduire les caractéristiques de la réaction R' de l'axe.

- Le solide est soumis aux forces suivantes : P ,F ,R'.

- Sous l'action de la force F , le solide tourne autour de l'axe Δ passant par G.

-Le centre d'inertie G est immobile.

- D'après la réciproque du principe de l'inertie, le système est soumis à des forces dont les effets se compensent :

Cliquer sur l'image pour démarrer l'animation.

 

2)- Couple associé.

- On peut décomposer le réaction R' en deux forces R ,F' telles que

-

- or

- Tout se passe comme si le solide était soumis :

- Aux forces R et P (forces qui existaient lors de l'équilibre initial).

- Et au couple .

- En conséquence, le couple est le couple associé à la force extérieure F.

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3)- Moment d'une force orthogonale à l'axe de rotation Δ.

Le moment du couple associé est donné par la relation

(avec l'orientation choisie):

 

Par définition, le moment du couple associé est appelé moment

de la force F par rapport à l'axe de rotation Δ, on écrit :

 

valeur algébrique du moment de la force F,

orthogonale à l'axe Δ,

unité : (N.m)

- F : valeur de la force, unité : N

- d : distance de la ligne d'action de la force à

l'axe de rotation, unité : m.

- ± dépend du sens positif choisi.

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III- Conditions d'équilibre d'un solide autour d'un axe fixe.

( TP physique N° 7 Moment d'une force. Équilibre d'un solide mobile autour d'un axe fixe).

1)- Conditions d'équilibre pour la rotation.

Un solide mobile autour d'un axe est en équilibre :

si la somme algébrique des moments des couples et

des moments des forces par rapport à l'axe de rotation Δ est nulle

et si la somme vectorielle des forces appliquées au solide

est égale au vecteur nul :

 

 

IV- Couples de forces répartis. ( TP physique N° 8 : couple de torsion d'un fil).

1)- Mise en évidence.

2)- Le couple de torsion.

 

V- Solide en mouvement de rotation uniforme autour d'un axe.

1)- Principe de l'inertie pour la rotation.

- Un solide, mobile autour d'un axe fixe Δ,

soumis à des couples ou à des forces orthogonales à l'axe,

dont la somme algébrique des moments est nulle :

- est

- soit en équilibre :

- soit animé d'un mouvement de rotation uniforme.

2)- Couple moteur et couple résistant.

Prenons l'exemple d'un ventilateur dont la vitesse de rotation

des pales est constante.

Le moteur électrique exerce un couple sur l'axe de rotation,

on dit qu'in exerce un couple moteur :

m c'est grâce à ce couple que le moteur qui entraîne les pales tourne.

S'il n'y avait que ce couple, les pales tourneraient de plus en plus vite.

On remarque, que lorsque l'on met le ventilateur en marche,

il existe une phase ou la vitesse de rotation augmente (démarrage),

puis la vitesse se stabilise pour devenir pratiquement constante.

Il existe un couple résistant, que l'on note r, exercé par l'air sur

les pales du ventilateur (frottements visqueux).

Il existe aussi des frottements solides que l'on peut négliger devant

les frottements visqueux.

Le solide est animé d'un mouvement de rotation uniforme

(sa vitesse de rotation ω est constante),

la réciproque du principe de l'inertie pour la rotation permet d'écrire que :

 r +m= 0

 

VI- Applications. EExercices 9, 11, 12, 17 pages 108 - 110.

1)- Étude de l'équilibre d'un solide mobile autour d'un axe fixe.

22)- Calcul du moment d'un couple pour une rotation uniforme.